熱流体力学 / 1級 · 図解公式集

熱流体力学1級の重要公式12選

計算力学技術者試験の熱流体力学1級から、図があり具体例で確かめられる公式を12個選びました。各章からまんべんなく選んでいるので、全体像をつかむ入口にも使えます。

公式 1 · 第9章混相流の基礎

ボイド率とクオリティ・スリップ比の関係

\alpha=\frac{x}{\,x+(1-x)\dfrac{\rho_G}{\rho_L}S\,}\qquad\left(S=\frac{v_G}{v_L}\right)

混相流ではまず気相の割合を2通りで測ります。ボイド率$\alpha$は『管の断面に占める気相の面積割合』(体積割合)、クオリティ$x$は『全質量流量のうち気相が占める割合』(質量基準)で、両者は同じではありません。両相の速度差はスリップ比$S=v_G/v_L$(気相が液相より速く滑る度合いで、鉛直上昇流では一般に$S>1$)で表します。気相の質量流束$\rho_G\alpha v_G$と液相の質量流束$\rho_L(1-\alpha)v_L$からクオリティを書き、$S$を入れて$\alpha$について解くと$\alpha=x/\{x+(1-x)(\rho_G/\rho_L)S\}$が得られます。密度比が上下逆だったり$S$の位置が違ったりする式は誤りで、分母の密度比は『気相密度÷液相密度』である点が要点です。同じ$x$でも$S$が大きいほど気相が速く抜けるため$\alpha$は小さくなります。図: 管断面で速い気相(占有率$\alpha$)と遅い液相(占有率$1-\alpha$)を色分けし、$v_G>v_L$のスリップを示す様子。

具体例

気体は軽く($\rho_G\ll\rho_L$)速く滑る($S>1$)ため、同じクオリティ$x$でもボイド率$\alpha$は$x$よりずっと大きくなります。水-蒸気では$x$が数%でも断面の大半を蒸気が占めることは珍しくありません(問1-7)。

公式 2 · 第10章気泡・液滴・粒子

球形粒子の抗力(ストークス・ニュートン抵抗とドラッグクライシス)

F_D=C_D\,\frac{\pi d^2}{4}\,\frac{\rho V^2}{2},\qquad C_D=\frac{24}{Re}\ (Re\ll1)

一様流(相対速度$V$)中の球形粒子に働く抗力$F_D$は、抗力係数$C_D$・投影面積$\pi d^2/4$・動圧$\rho V^2/2$の積で書けます($d$=粒子径、$\rho$=流体密度)。$C_D$はレイノルズ数$Re=Vd/\nu$で領域分けされます。$Re\ll1$の『ストークス域』では$C_D=24/Re$で、これを代入すると$F_D=3\pi\mu d V$となり、抗力は相対速度の1乗に比例します(粘性支配)。$Re$が大きい領域では$C_D$はほぼ一定値($C_D\approx0.4$、『ニュートン抵抗』)になり、抗力は相対速度の2乗に比例します(慣性支配)。中間域はSchiller-Naumann式$C_D=24(1+0.15Re^{0.687})/Re$で滑らかにつなぎます。さらに$Re\approx3\times10^5$で境界層が乱流化してはく離が遅れ、後流が細くなって$C_D$が急落します(ドラッグクライシス)。図: $C_D$–$Re$の両対数曲線で、ストークス抵抗の右下がり・ニュートン域のほぼ一定・$Re\approx3\times10^5$の急落を示す様子。

具体例

ストークス域では$F_D\propto V$、ニュートン域では$F_D\propto V^2$で、速度を2倍にすると抗力は約4倍です。なめらかな球では$Re\approx3\times10^5$で$C_D$が約0.4から0.1程度へ急落します(問2-1)。

公式 3 · 第11章波と界面

微小振幅水面波の分散関係(位相速度)

c=\sqrt{\left(\dfrac{g}{k}+\dfrac{\sigma k}{\rho}\right)\tanh(kh)}

水深 $h$ の静かな水面を進む、振幅の小さな波(正弦波)が1秒間にどれだけ進むかを表すのが位相速度 $c=\omega/k$ です。これは波数 $k=2\pi/\lambda$($\lambda$ は波長)によって変わり、上の分散関係で決まります($g$=重力加速度、$\sigma$=表面張力係数、$\rho$=液体の密度)。式を読むと、重力の効果 $g/k$ と表面張力の効果 $\sigma k/\rho$ の和に、水深の効果 $\tanh(kh)$ が掛かる形だと分かります。位相速度が波長ごとに違うため、いろいろな波長の波が別々の速さで進み、波の形がしだいにくずれていきます(これが波の分散です)。表面張力を無視できるときは $c=\sqrt{(g/k)\tanh(kh)}$ となります。要点は、位相速度が『重力+表面張力』と『水深』の両方で決まること。極限をとると長波・短波の簡単な式に分かれ、津波やさざ波の速さの見積もりにつながります。図: 波長の異なる波が別々の速さで進み、水面の波形がくずれていく様子。

具体例

表面張力を無視した深い水($kh\gg1$)で波長 $\lambda=6.3\,\mathrm{m}$ の波は、$k\approx1.0\,\mathrm{m^{-1}}$、$c=\sqrt{g/k}=\sqrt{9.8}\approx3.1\,\mathrm{m/s}$ で進みます。波長が長いほど速くなります(問11-1)。

公式 4 · 第12章平均化モデル

界面積濃度とザウター平均径

a_{\mathrm{int}}=\dfrac{6\alpha}{d},\qquad a_{\mathrm{int}}=\dfrac{6\alpha}{d_{32}},\quad d_{32}=\dfrac{\int D^3 f(D)\,dD}{\int D^2 f(D)\,dD}

界面積濃度 $a_{\mathrm{int}}$ は『単位流体体積あたりの気液界面の面積』で、平均化モデルで相間のやりとり(抗力・熱伝達・物質移動)の大きさを決める基本量です。検査体積 $V$、気相体積率(ボイド率)$\alpha$、球形気泡の直径 $d$ とすると、気相体積は $\alpha V$、球1個の体積 $\pi d^3/6$ から気泡数は $6\alpha V/(\pi d^3)$、球1個の表面積 $\pi d^2$ を掛けて界面の総和は $6\alpha V/d$。これを $V$ で割って $a_{\mathrm{int}}=6\alpha/d$ が得られます(単位は長さの逆数 $\mathrm{m^{-1}}$)。要点は『ボイド率 $\alpha$ が大きいほど、気泡径 $d$ が小さいほど界面積濃度が大きくなる』ことで、係数を6以外にしたり $d$ を分子に置いたりするのは誤りです。実際の気泡は径がばらつくため、体積と表面積の比を保つ代表径=ザウター平均径 $d_{32}$ を $d$ の代わりに使えば、径分布のある分散系でも $a_{\mathrm{int}}=6\alpha/d_{32}$ が成り立ちます。図: ボイド率が高く気泡径が小さいほど、単位体積あたりの界面がふえる様子。

具体例

$\alpha=0.06$、$d=3.0\,\mathrm{mm}$ なら $a_{\mathrm{int}}=6\times0.06/(3.0\times10^{-3})=120\,\mathrm{m^{-1}}$。径を半分にすると界面積濃度は2倍になります(問12-1)。

公式 5 · 第13章界面追跡・捕獲法

VOF法(Volume of Fluid)

\dfrac{\partial F}{\partial t}+\boldsymbol{u}\cdot\nabla F=0,\qquad F=\dfrac{\text{相の占める体積}}{\text{セル体積}}

VOF法は、ある相の体積存在率 $F$(セルをその相が占める割合、$0\le F\le1$)を変数とし、固定格子の上でその移流 $\partial F/\partial t+\boldsymbol{u}\cdot\nabla F=0$ を計算する界面捕獲法です。$F$ の分布から界面の形状を再構成します。体積の保存式に基づくため体積保存性に原理的に優れますが、$F$ が0か1へ鋭く変化するので、界面再構成(SLIC・PLICなど)を工夫しないと界面がなまる(数値拡散する)ことがあります。また、移流項を高次差分にするだけでは各相の体積が常に厳密に保存するとは限らず、発散がゼロというソレノイダル条件と適切な移流計算の両方が必要です。$F=1$ が一方の相、$F=0$ がもう一方、$0<F<1$ が界面を含むセル、と対応づけると直観的です。Level Set法とは『体積存在率か距離関数か』という変数の違いで対比されます。図: セルごとの体積率 $F$ の分布から界面を再構成する様子。

具体例

$F=1$ が液、$F=0$ が気体、$0<F<1$ が界面セル。PLICで界面を区分的な線分に復元してから $F$ を移流させると、界面をシャープに保ちやすくなります(問13-2・13-6)。

公式 6 · 第14章粒子追跡モデル

粒子の運動方程式(オイラー・ラグランジュ法)

\dfrac{d\boldsymbol{y}}{dt}=\boldsymbol{v},\qquad \dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt}=\dfrac{3}{2\beta+1}\dfrac{D\boldsymbol{u}}{Dt}+\dfrac{\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}}{\tau_p}

粒子追跡法(オイラー・ラグランジュ法)では、散らばった粒子を1個ずつ追いかけ、その重心位置$\boldsymbol{y}$と速度$\boldsymbol{v}$の運動方程式を時間に沿って積分していきます。周囲の流体速度$\boldsymbol{u}$はあらかじめナビエ・ストークス方程式で求めておき、粒子のいる場所の値を補間して与えます。右辺の第1項は流体自身の加速にともなう力(圧力こう配力と仮想質量力をまとめた形)で、粒子と流体の密度比$\beta=\rho_p/\rho_f$を含みます。第2項は流体と粒子の速度差$\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}$に比例する抗力(ストークス抗力)項で、粒子緩和時間$\tau_p$を時定数として速度差を縮めていきます($D/Dt$は流体の実質微分です)。この式を陽解法で解くのが基本ですが、$\tau_p$が小さいほど式は『硬く(スティフ)』なり、時間刻みの取り方に注意が要ります。図: 流体に運ばれながら抗力で周囲の流体速度に近づいていく1個の粒子の様子。

具体例

気泡($\beta\ll1$)では第1項の係数$3/(2\beta+1)\approx3$が大きく効き、周囲流体の加速に強く引きずられます。逆に重い固体粒子($\beta\gg1$)はこの係数が小さく、慣性のため流体に追従しにくくなります(問14-2)。

公式 7 · 第15章相変化

飽和蒸気圧と蒸発潜熱

p_{sat}=p_{sat}(T),\qquad L=h_g-h_f

純物質の気液相変化は、気相と液相が平面を介して熱力学的につり合う『飽和状態』から、温度や圧力がずれたときに生じる熱物質移動です。単成分系の平衡は本来二つの独立変数で決まりますが、二相が共存すると自由度が一つ減るため、飽和蒸気圧$p_{sat}$は温度$T$だけの関数になります。これが『飽和蒸気圧は温度のみで決まる』という大事な性質です。蒸発潜熱$L$は、液体を同じ温度の気体に変えるのに要する熱で、気相と液相の比エンタルピー差$h_g-h_f$に等しくなります(比エントロピー差ではない点に注意します)。潜熱は温度が上がるほど小さくなり、気相と液相の区別がなくなる臨界点でゼロになります。この飽和状態からのずれが、沸騰(温度側)やキャビテーション(圧力側)の相変化を引き起こす出発点です。図: 飽和蒸気圧曲線と、温度が上がるほど潜熱が減り臨界点でゼロになる様子。

具体例

水は1気圧で100℃が飽和温度で、圧力を上げると飽和温度も上がります(圧力鍋)。潜熱は100℃で約2257 kJ/kg、温度が上がるほど小さくなり、臨界点(約374℃)でゼロになります(問15-1)。

公式 8 · 第16章結果の検証と妥当性確認

格子収束指数 GCI

\mathrm{GCI}=\dfrac{F_s\,|\varepsilon|}{r^{p}-1},\qquad \varepsilon=\dfrac{f_2-f_1}{f_1}

GCI(Grid Convergence Index、格子収束指数)は、格子を細かくしたときの数値解の不確かさ(離散化誤差)を見積もるための指標で、多次元計算のVerificationの中核になります。細かい格子の解$f_1$、粗い格子の解$f_2$、格子の細分化比$r=\Delta x_{\text{粗}}/\Delta x_{\text{細}}$、観測収束次数$p$、安全係数$F_s$(格子が3段階以上なら1.25、2段階なら3が目安)を使い、相対差$\varepsilon=(f_2-f_1)/f_1$から$\mathrm{GCI}=F_s|\varepsilon|/(r^p-1)$を計算します。GCIが小さいほど格子収束がよく、数値解が格子の細かさに依存していないと判断できます。これにより『この解はもう格子を細かくしてもほとんど変わらない』という信頼度を、数値として示せるのが利点です。実験を使わずに誤差を評価するVerificationの代表的な道具です。図: 複数の格子解からGCIを求め、格子依存性の小ささを示す様子。

具体例

$r=2$、$p=2$、$F_s=1.25$、$f_1=0.500$、$f_2=0.515$ なら$\varepsilon=0.030$、$\mathrm{GCI}=1.25\times0.030/(2^2-1)=0.0125=1.25\%$ です(問16-1)。

公式 9 · 第17章燃焼の基礎1

空燃比(A/F)・燃空比(F/A)・理論空燃比

A/F=\dfrac{m_{air}}{m_{fuel}},\quad F/A=\dfrac{1}{A/F},\quad (A/F)_{st}=\dfrac{\text{過不足なく燃やす空気質量}}{\text{燃料質量}}

燃料と空気(酸化剤)の混ざり具合を数値で表す基本の比です。空燃比$A/F$は空気の質量を燃料の質量で割った値で、大きいほど空気が多く燃料が薄いことを表します。燃空比$F/A$はその逆数です。どちらも「質量」の比である点に注意します。酸化剤が空気でなく純酸素なら、同じ考え方を酸素燃料比・燃料酸素比と呼び分けます。中でも大切なのが理論空燃比(化学量論比)で、燃料を過不足なく完全燃焼させるのにちょうど必要な空気量で計算した空燃比です。求め方は、まず化学反応式から必要な酸素のモル数を出し、空気は体積比で窒素:酸素$=80:20$(酸素1molに窒素4mol)として空気全体の質量を計算し、燃料の質量で割ります。この基準があるからこそ、実際の運転が燃料過多か希薄かを判断できます。図: 燃料と空気の質量比として空燃比・燃空比が定まり、過不足なく燃える点が理論空燃比になる様子。

具体例

水素の完全燃焼$2\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}\to2\mathrm{H_2O}$では水素2molに酸素1mol(空気なので窒素4mol随伴)。$H{=}1,N{=}14,O{=}16$として$(A/F)_{st}=(32\times1+28\times4)/(2\times2)=36$となります(問1-1)。

公式 10 · 第19章燃焼反応

総括反応モデルの反応速度

\omega=k\,[\mathrm{CH_4}]^{\alpha}\,[\mathrm{O_2}]^{\beta}

多数の素反応をまとめ、反応物と生成物の関係だけを1本の式で表したものが総括反応モデルです。例えばメタンの酸化$\mathrm{CH_4}+2\mathrm{O_2}\to\mathrm{CO_2}+2\mathrm{H_2O}$の反応速度$\omega$を、反応速度定数$k$とモル濃度$[\mathrm{CH_4}],[\mathrm{O_2}]$のべき乗の積で書きます。$\alpha,\beta$は反応次数です。少ない式で済むので計算は軽くなりますが、注意点があります。これは実際に分子レベルで起きている反応を表しているわけではなく、反応次数$\alpha,\beta$は実験に合うよう決めた見かけの値です。しかも温度や濃度の範囲で変わるうえ、整数とは限らず小数もあり、さらに負の値をとる場合さえあります。「反応次数は常に正」と考えるのは誤りです。手軽さと引き換えに適用範囲が限られる、という性格を押さえて使います。図: 多数の素反応を1本にまとめた総括反応モデルの考え方。

具体例

$\alpha,\beta$は実験に合わせた見かけの値で、温度・濃度域が変われば変化し、負や小数にもなります(「常に正」は誤り)(問3-3)。

公式 11 · 第21章層流拡散火炎

第1ダムケラー数

Da_{\mathrm{I}}=\dfrac{\tau_{flow}}{\tau_{chem}}

第1ダムケラー数$Da_{\mathrm{I}}$は、流れの特性時間(火炎面近くに流体がとどまる滞在時間)$\tau_{flow}$と、化学反応に要する特性時間$\tau_{chem}$の比を表す無次元数です。$Da_{\mathrm{I}}$が大きいほど反応が相対的に速く、滞在時間のあいだに反応が十分進むため、薄い拡散律速の火炎面ができます。逆に小さいと反応が流れに追いつけず、消炎しやすくなります。ここで取り違えやすいのが似た名前の無次元数です。第2ダムケラー数はこれとは別物で、無次元化した活性化エネルギーはゼルドビッチ数、無次元化した火炎伸張率はカルロビッツ数と呼ばれます。どれも燃焼の速さや伸張を測りますが、定義が違うので区別して覚えることが大切です。図: 滞在時間$\tau_{flow}$と反応時間$\tau_{chem}$の長さを比べ、その比でダムケラー数が決まる様子。

具体例

$\tau_{flow}=2.0$ms、$\tau_{chem}=0.40$msなら$Da_{\mathrm{I}}=5.0$。大きいほど反応が速く薄い火炎面になります(問5-1)。

公式 12 · 第23章混相燃焼

粒子のラグランジュ型運動方程式と抗力

m_p\dfrac{dV_p}{dt}=F+m_p g,\quad F=\dfrac{1}{8}\pi d_p^{2}\rho\,(V-V_p)\,|V-V_p|\,C_D

気流の中を漂う粒子を1個ずつ追いかけて、その速度変化を時間で追う考え方(ラグランジュ的な見方)の運動方程式です。左辺は粒子の質量$m_p$と加速度の積で、右辺は粒子にはたらく力の合計です。主役は抗力$F$で、気流速度$V$と粒子速度$V_p$の差(スリップ速度)によって生まれ、粒子を気流に引きずり込もうとします。式を読むと、抗力は粒子の投影面積(直径$d_p$の2乗に比例)、気体密度$\rho$、スリップ速度の2乗、そして抗力係数$C_D$で決まることが分かります。これに重力$m_p g$が加わり、必要なら圧力勾配力や付加質量力なども足します。噴霧や微粉炭の数値計算では、この式を一粒ずつ時間積分して粒子の軌跡をたどり、気相との間でやり取りする運動量や熱を求めるのが出発点になります。図: 気流速度$V$と粒子速度$V_p$の差によって粒子に抗力がはたらく様子。

具体例

重力のほかに、気体の圧力が傾いて生じる圧力勾配力や、まわりの気体を一緒に加速する付加質量力を加えることもあります(問7-1)。

本ページはsafaによる独立した解説で、アプリ「CAE試験対策」の用語・公式・図を使用しています。日本機械学会による監修・公認を示すものではありません。