振動 / 1級 · 3つのテーマを一続きに

振動1級の応答解析｜モード重ね合わせ・レイリー減衰・Newmark法を図解

多自由度の揺れをモードに分け、減衰を与え、時間を追って解く。代表的な応答解析を、式の役割と具体例でつなげます。

制作：safa · 更新：2026年10月25日

読み終わったときに分かること

応答をどう分解し、減衰をどう表し、時間をどう進めるかを説明できる。

STEP 1

モード重ね合わせ：揺れを、基本の形の足し算で表す

多くの節点がある構造の揺れを、すべての変位成分のまま扱うと複雑です。固有モードという基本の揺れ方へ分けて考えます。

モードの形φrに、その時刻の大きさqrを掛けて足すと変位になります。励起の大きさは振動数だけでなく、荷重の位置と向きにも依存します。

変位 u(t)＝Σ φr qr(t)

形をφ1＝[1,1]、φ2＝[1,−1]、ある時刻の係数をq1＝2mm、q2＝0.5mmとすると、変位は[2.5,1.5]mmです。

STEP 2

構造全体の減衰を全成分で個別に決めるのは容易ではありません。質量行列と剛性行列を組み合わせる近似を使います。

C＝αM＋βKとすると、モード減衰比は角振動数に依存する曲線になります。α項は低振動数側、β項は高振動数側で効きやすくなります。

C＝αM＋βK、ζr＝α/(2ωr)＋βωr/2

ω＝10と100rad/sでζ＝0.05に合わせると、α＝10/11s⁻¹、β＝1/1100s。ω＝50rad/sではζ≈0.0318となり、全域で0.05ではありません。

STEP 3

時間とともに変わる荷重を受ける構造で、次の瞬間の変位・速度・加速度を順番に求めたいとします。

区間の前後の加速度を使い、変位と速度を更新します。平均加速度法はβ＝1/4、γ＝1/2。次時刻の加速度も未知なので、運動方程式と一緒に解きます。

平均加速度法：v次＝v今＋Δt(a今＋a次)/2、u次＝u今＋Δt v今＋Δt²(a今＋a次)/4

更新式を確認するため、u＝0m、v＝1m/s、Δt＝0.1s、前後の加速度がともに2m/s²とすると、次の速度は1.2m/s、変位は0.11mです。実解析では次の加速度も方程式から求めます。

次の3点を説明できれば、式の見方を整理できています。

分からない点が残ったら、上の図・途中手順・適用条件へ戻ってみてください。

本記事はsafaによる独立した解説です。日本機械学会による監修・公認を示すものではありません。アプリの用語・図を土台に、式の読み方と計算例をWeb向けに構成しています。