形状関数とは(節点の値を要素の中へ広げる関数)

意味

有限要素法では、物をたくさんの小さな部品(要素)に分け、部品の角(節点)の値だけを計算します。でも本当に知りたいのは角だけでなく「部品の中のどこでも」の値です。そのすき間を埋めるのが形状関数です。形状関数 $N_i(x)$ は「節点 $i$ の値を、要素の中のある点にどれだけ効かせるか」という重みで、節点の変位 $u_i$ と要素内の変位 $u(x)$ をつなぐ橋渡しの関数です。ルールは2つだけ:(1)自分の節点では1・ほかの節点では0、(2)要素内のどこでも全部足すと1(=100%を節点どうしで分け合う)。この関数が決まると、変位を微分してひずみ→応力…と計算が進みます。次からの「4節点四辺形の形状関数」などは、この具体的な中身です。

具体例

2節点の棒で節点1の変位が3・節点2が1のとき、真ん中の変位は $N_1\cdot3+N_2\cdot1$。真ん中では $N_1=N_2=0.5$ なので $0.5\times3+0.5\times1=2$。節点の値を間へなめらかに配る。