形状関数（内挿関数）

意味

形状関数 $N_i$ は、節点値 $d_i$ から要素内部の変位を計算するための関数です。節点だけを未知数にすれば、無数の点の変位を別々に解かずに済みます。通常の節点型の変位要素では、自分の節点で $N_i=1$、他の節点で0となり、近似変位が指定した節点値と一致します。$\delta_{ij}$ は $i=j$ のとき1、それ以外で0を表すクロネッカーのデルタです。形状関数の和が1なら、すべての節点に同じ変位 $c$ を与えたとき、要素内でも $u_h=c$ となります。つまり、物体をそのまま平行移動させても、人工的なひずみが生じません。ただし、和が1という条件だけで、あらゆる剛体回転や正しい精度が保証されるわけではありません。座標や線形変位を適切に再現できること、要素間で必要な連続性を満たすことも大切です。2節点棒では変位を直線で補い、$N_1=1-x/L$、$N_2=x/L$ です。3節点三角形では面積座標が形状関数となります。要素を共有する節点の変位を共通にすることで、通常の連続変位要素では境界の変位がつながります。一方、変位の微分であるひずみや応力は、要素境界で必ずしも連続にはなりません。形状関数を「滑らかに補う」とだけ覚えず、どの次数の分布を表現できるかを確認します。

具体例

$L=200\,\mathrm{mm}$、左節点 $d_1=0.02\,\mathrm{mm}$、右節点 $d_2=0.12\,\mathrm{mm}$ の棒を考えます。$x=50\,\mathrm{mm}$ では $N_1=0.75$、$N_2=0.25$ なので、$u_h=0.75\times0.02+0.25\times0.12=0.045\,\mathrm{mm}$。両節点をともに $0.10\,\mathrm{mm}$ にすると、要素内のどこでも $u_h=0.10\,\mathrm{mm}$、ひずみは0です。