ガウス積分（数値積分）

意味・使いどころ

要素剛性行列の積分を、少ない評価点で正確に行う方法です。評価点は不等間隔(n次ルジャンドル多項式の零点)に取り、n点のガウス積分は$2n-1$次までの多項式を厳密に積分できます(等間隔のニュートン・コーツの約半分の点数で同じ次数)。2点なら評価点 $\xi=\pm1/\sqrt{3}$、重みは両方1です。任意区間 $[a,b]$ は $x=\tfrac{b-a}{2}\xi+\tfrac{b+a}{2}$ で $[-1,1]$ に移してから積分します。

具体例

2点ガウス積分で $f=\xi^2$ を積分すると (1/3)+(1/3)=2/3。理論値 $\int_{-1}^{1}\xi^2\,d\xi=2/3$ と完全一致します。