重み付き残差法・ガラーキン法

意味・使いどころ

有限要素法では、連続した物体の変位を有限個の節点値から近似します。この近似変位を $u_h$ とすると、支配方程式に代入しても各点で完全には一致せず、残差 $R$ が残ります。$\mathcal{L}$ は微分などの操作、$f$ は方程式の右辺です。重み付き残差法は、残差に重み関数 $w_i$ を掛けた積分を0にして、必要な本数の方程式を作る方法です。単に残差の平均を0にするだけではなく、異なる重みごとに条件を課す点が重要です。例えば $u_h=\sum_jN_jd_j$ と近似し、重みに同じ基底関数 $N_i$ を使うのがガラーキン法です。指定変位の境界では重みを0とし、部分積分によって変位の2階微分を1階微分へ下げると、通常の変位法FEMで使う弱形式になります。棒の軸変形なら、形状関数の微分と材料剛性から要素剛性を計算できます。ただし、ガラーキン法を使えばどんな問題でも対称行列になるわけではありません。線形弾性のように弱形式の双線形形式が対称な場合に対称性が得られます。輸送を含む問題などでは非対称になることがあります。ガウス・ザイデル法は、ここで作った連立方程式を解く方法であり、方程式を作る原理とは段階が異なります。

具体例

一定断面の棒で $(EAu\prime)\prime+p=0$ を考えます。重み $w_i$ を掛けて部分積分すると $\int_0^L EA w_i\prime u\prime dx=\int_0^Lw_i p\,dx+[w_iEAu\prime]_0^L$。ここに $u_h=\sum_jN_jd_j$、$w_i=N_i$ を代入すると $k_{ij}=\int_0^L EA N_i\prime N_j\prime dx$ です。$E=200\,\mathrm{GPa}$、$A=100\,\mathrm{mm^2}$、$L=500\,\mathrm{mm}$ の2節点棒では係数 $EA/L=40000\,\mathrm{N/mm}$ になります。