熱拡散率と非定常熱伝導

意味・使いどころ

非定常熱伝導では、温度が位置だけでなく時間によって変化します。材料の温度変化には、内部へ熱を伝える働きと、熱エネルギーを蓄える働きの両方が関わります。λは熱伝導率、ρは密度、cは比熱です。比熱は単位質量の温度を1 K変えるために必要な熱エネルギーで、単位はJ/(kg K)です。ρcは単位体積あたりの熱容量で、単位はJ/(m³ K)になります。カードの熱拡散率αは、熱を伝える能力を蓄える能力で割った値で、単位はm²/sです。αが大きいほど、同じ形状と境界条件で内部の温度分布が変化する時間尺度は短くなる傾向があります。λが大きくてもρcが非常に大きければ、温度分布の変化が速いとは限らないことが分かります。熱収支から、一次元で物性一定なら $\rho c\,\partial T/\partial t=\lambda\,\partial^2T/\partial x^2+H$ となります。発熱なしなら、両辺をρcで割って $\partial T/\partial t=\alpha\,\partial^2T/\partial x^2$ です。非定常解析には境界条件だけでなく、開始時の温度分布である初期条件も必要です。代表長さLに対して、内部の熱拡散の時間尺度はおよそL²/αで評価できます。ただし、これは正確な定常到達時刻ではなく、熱伝達や形状なども含めて実際の時間変化を判断します。時間に依存しない境界条件と放熱経路があり、定常解へ収束する場合には、十分時間が経つと定常温度分布へ近づきます。全て断熱で発熱し続ける場合や、境界温度が周期的に変わる場合は、時間が経てば必ず一定温度になるとはいえません。

具体例

例として $\lambda=50\,\mathrm{W/(m\,K)}$、$\rho=7800\,\mathrm{kg/m^3}$、$c=500\,\mathrm{J/(kg\,K)}$ を使います。① $\alpha=50/(7800\times500)\approx1.282\times10^{-5}\,\mathrm{m^2/s}$。②代表長さ0.01 mなら $L^2/\alpha\approx7.8\,\mathrm{s}$。③同じ物性で長さを0.02 mにすると約31.2 sで四倍です。④完全断熱・初期温度一様で $H=1000000\,\mathrm{W/m^3}$ なら、温度上昇速度は $H/(\rho c)\approx0.2564\,\mathrm{K/s}$ で、定常にはなりません。