熱伝導の境界条件と対称面

意味・使いどころ

熱伝導方程式だけでは、温度分布を一つに決められません。解析領域の表面で何が与えられているかを指定する必要があり、これを境界条件と呼びます。温度を指定する条件がディリクレ条件、熱流束を指定する条件がノイマン条件です。断熱は、表面を横切る熱流束がゼロというノイマン条件の特別な場合です。流体との熱伝達を $q_n=h(T-T_f)$ で表す条件は、温度と熱流束の関係を与えるロビン条件です。ここではnを外向き法線とし、qnも領域の外へ出る向きを正に取ります。ソフトによって流入を正にする場合があるため、境界入力の符号を必ず確認します。等方材では、断熱条件qn=0から法線方向の温度勾配もゼロになります。温度勾配がゼロでない通常の点では、等温線は断熱境界を直角に横切り、熱流束は境界に沿って流れます。ただし、異方材では熱流束と温度勾配が平行とは限らず、この等温線の説明を一般化できません。対称面へ断熱条件を使うには、形状だけでなく、材質、発熱、温度や熱伝達の条件も対称である必要があります。片側だけを加熱している形状対称のモデルは、その面で熱がゼロになるとは限りません。標準的な熱伝導FEMでは、未指定の境界が自然境界として熱流束ゼロになる定式化がありますが、実際のソフトの既定条件や放射などの設定を確認する必要があります。さらに、定常解析で全境界を熱流束だけにすると、熱収支が合っていても温度の基準が決まらず、定数分の不定性が残ることがあります。発熱があり全て断熱なら、定常状態自体が成立しません。

具体例

①領域の外向きを正とする熱流束入力で、外部から500 W/m²を加熱する場合は $q_n=-500\,\mathrm{W/m^2}$。流入正のソフトなら入力は＋500です。②形状・材料・発熱・冷却条件が左右対称のモデルを半分にすると、切断対称面へ $q_n=0$ を与えます。③全境界が断熱で発熱なしの定常モデルは、一様な温度ならどの温度でも方程式を満たすので、温度基準が必要です。④全境界が断熱で正の内部発熱がある場合は、熱が蓄積するため非定常問題として扱います。