仮想仕事の原理

意味・使いどころ

仮想変位 $\delta\mathbf u$ は、現在の釣合い状態を調べるために仮に与える、ごく小さな変位の変化です。実際に時間を進めて生じた変位ではありません。指定変位の境界では自由に動かせないため、仮想変位を0にします。内部仮想仕事は応力 $\boldsymbol\sigma$ と、それに対応する仮想ひずみ $\delta\boldsymbol\varepsilon$ の積を体積全体で積分した量です。外部仮想仕事は、体積力 $\mathbf b$ と表面力 $\bar{\mathbf t}$ が同じ仮想変位に対してする仕事です。$\mathbf b$ の単位は $\mathrm{N/m^3}$、表面力は $\mathrm{N/m^2}$ で、両辺はエネルギーの単位になります。静的に釣り合う物体では、この等式が許される任意の仮想変位について成立します。変位を $\mathbf u=\mathbf N\mathbf d$、ひずみを $\boldsymbol\varepsilon=\mathbf B\mathbf d$ と置き、線形弾性の関係を代入すると、節点変位に関する $\mathbf K\mathbf d=\mathbf f$ が導かれます。仮想仕事の原理自体は線形材料だけに限定されませんが、この章の $\mathbf B$ と一定の $\mathbf D$ による式は微小変形・線形弾性を前提にしています。動的問題では慣性力の仕事も含めます。せん断ひずみに工学せん断ひずみを使うときは、応力ベクトルとの成分順をそろえる必要があります。

具体例

剛性 $k=20000\,\mathrm{N/mm}$ のばねが $d=0.5\,\mathrm{mm}$ 伸び、外力 $F=10000\,\mathrm N$ で釣り合っているとします。仮想変位を $\delta d=0.01\,\mathrm{mm}$ とすると、内部仮想仕事は $kd\delta d=100\,\mathrm{N\,mm}$、外部仮想仕事は $F\delta d=100\,\mathrm{N\,mm}$ です。この仮想変位の大きさは任意なので、等式から $kd=F$ が得られます。