ひずみエネルギー

意味・使いどころ

ひずみエネルギーは、弾性変形の過程で材料に蓄えられるエネルギーです。線形ばねを0から伸ばすと、必要な力は $F=kd$ に従って増えます。そのため、最終の力と伸びの積 $Fd$ ではなく、力–変位グラフの三角形の面積 $\tfrac12Fd=\tfrac12kd^2$ になります。断面積 $A$、長さ $L$、ヤング率 $E$ が一定の軸力棒では $k=EA/L$ なので、同じ式が使えます。多軸状態では、工学せん断ひずみを含むひずみベクトルと対応する応力ベクトルを用い、単位体積当たりのエネルギーを $\tfrac12\boldsymbol\varepsilon^T\boldsymbol\sigma$ と表します。これを物体全体で積分したものが $U$ です。この2分の1を付ける式は、初期ひずみ・初期応力のない線形弾性を原点から負荷する場合の式です。非線形弾性では応力をひずみについて積分する必要があります。また「剛性が高いほどエネルギーが大きい」という説明には、何を同じにするかが必要です。同じ伸びなら $U=\tfrac12kd^2$ から大きくなり、同じ外力なら $U=F^2/(2k)$ から小さくなります。FEMでは $U=\tfrac12\mathbf d^T\mathbf K\mathbf d$ と表せるため、剛性行列とエネルギーは直接結びついています。

具体例

$E=200\,\mathrm{GPa}=200000\,\mathrm{N/mm^2}$、$A=100\,\mathrm{mm^2}$、$L=500\,\mathrm{mm}$、伸び $d=0.1\,\mathrm{mm}$ とします。$k=EA/L=40000\,\mathrm{N/mm}$、$F=kd=4000\,\mathrm N$。$U=\tfrac12\times40000\times0.1^2=200\,\mathrm{N\,mm}=0.2\,\mathrm J$ です。$1\,\mathrm{N\,mm}=0.001\,\mathrm J$ に注意します。