ひずみ–変位関係（2次元）

意味・使いどころ

2次元の変位を $x$ 方向の $u(x,y)$、$y$ 方向の $v(x,y)$ とします。垂直ひずみ $\varepsilon_x$ は、$x$ 方向に離れた2点の変位差を元の距離で割った量で、極限をとると $\partial u/\partial x$ になります。$\varepsilon_y$ も同じ考え方です。工学せん断ひずみ $\gamma_{xy}$ は、最初は直角だった2方向の線が変形して、直角からどれだけ変わるかを表します。2本の線それぞれの傾きが効くため、$\partial u/\partial y$ と $\partial v/\partial x$ の和になります。テンソルせん断ひずみは $\varepsilon_{xy}=\gamma_{xy}/2$ なので、材料行列の定義と混同しないことが重要です。これらの式は、変位勾配の2次の項を無視する微小変形の関係です。大きな回転や変形では別のひずみ尺度が必要になります。全点を同じ量だけ移動させると変位の微分が0になり、ひずみも0です。また微小な剛体回転では2つのせん断勾配が打ち消し合います。変位を形状関数で近似し、この微分操作をまとめると $\boldsymbol\varepsilon=\mathbf B\mathbf d$ が得られます。3節点の直線辺三角形では変位が座標の1次式なので、ひずみが要素内で一定となります。応力まで一定になるのは、材料行列と初期ひずみなども要素内で一定の場合です。

具体例

$u=0.001x+0.002y$、$v=-0.0005x+0.0003y$ とします。座標と変位をともにmmで表すと、$\varepsilon_x=0.001$、$\varepsilon_y=0.0003$、$\gamma_{xy}=0.002-0.0005=0.0015$、$\varepsilon_{xy}=0.00075$ です。微小剛体回転 $u=-\theta y$、$v=\theta x$ では $\gamma_{xy}=-\theta+\theta=0$ になります。