Bマトリックス（ひずみ–変位行列）

意味・使いどころ

$\mathbf B$ は節点変位を要素内のひずみに変換する行列です。材料の硬さを表す行列ではなく、要素の形状と変位の内挿方法から決まります。2節点棒なら $u=N_1d_1+N_2d_2$ を $x$ で微分するため、$\mathbf B=[-1/L,\,1/L]$ となり、$\varepsilon=(d_2-d_1)/L$ です。2次元で節点ごとに $u_i,v_i$ の順に並べると、節点 $i$ の列ブロックは $\mathbf B_i=\begin{bmatrix}N_{i,x}&0\\0&N_{i,y}\\N_{i,y}&N_{i,x}\end{bmatrix}$ です。ここで $N_{i,x}$ は形状関数の $x$ 微分です。長さにmmを用いれば $\mathbf B$ の単位は通常 $1/\mathrm{mm}$ となり、mmの変位を掛けて無次元のひずみを得ます。2節点棒や3節点の直線辺三角形では $\mathbf B$ が一定ですが、「1次要素なら常に一定」とは言えません。4節点四角形の双1次内挿では一般に位置によって変化し、自然座標で定義した微分を実座標へ変換するためのヤコビアンも関係します。三角形では各節点の座標から形状関数を決め、その微分を使って $\mathbf B$ を作ります。要素が細長い、つぶれているなどの場合は、微分や剛性の計算が悪条件になりやすいため、要素品質にも注意します。

具体例

$L=200\,\mathrm{mm}$、$d_1=0$、$d_2=0.1\,\mathrm{mm}$ なら $\varepsilon=(0.1-0)/200=5\times10^{-4}$。$E=200000\,\mathrm{N/mm^2}$ の棒では $\sigma=E\varepsilon=100\,\mathrm{N/mm^2}$ です。両節点にさらに同じ $0.3\,\mathrm{mm}$ を加えても、変位差は変わらないため、ひずみと応力は同じです。