面積座標・体積座標

意味・使いどころ

面積座標は、三角形の中の点を3個の面積比で表す座標です。全体の面積を $A_e$ とし、点と辺2–3で作る小三角形の面積を $A_1$ とすれば、節点1に対応する座標は $L_1=A_1/A_e$ です。同様に $L_2,L_3$ を定めると、内部ではいずれも0以上で和が1になります。節点1では $L_1=1$、残りは0となるので、3節点の直線辺三角形の形状関数はそのまま $N_i=L_i$ です。位置も $x=\sum_iL_ix_i$、$y=\sum_iL_iy_i$ と表せます。3個ありますが和が1という関係があるため、独立なのは2個です。四面体では、向かいの面と内部点で作る小四面体の体積比を使い、4個の体積座標 $\omega_i$ の和が1になります。独立なのは3個で、4節点四面体の形状関数と一致します。三角形上の積分公式の $l,m,n$ は0以上の整数で、$0!=1$ です。定数1の積分を入れると面積そのものになるため、係数を覚える際の確認に使えます。四面体の体積を $V_e$ とすると、対応する式は $\int_{V_e}\prod_{i=1}^4\omega_i^{a_i}dV=6V_e\prod_{i=1}^4a_i!/(\sum_{i=1}^4a_i+3)!$ です。いずれも直線辺・平面を持つ通常の単体に対する式で、曲がった高次要素にそのまま使うときは座標変換の確認が必要です。

具体例

$A_e=300\,\mathrm{mm^2}$ の三角形なら、$\int N_1dA=A_e/3=100\,\mathrm{mm^2}$、$\int N_1^2dA=A_e/6=50\,\mathrm{mm^2}$、$\int N_1N_2dA=A_e/12=25\,\mathrm{mm^2}$ です。一定厚さ $t=2\,\mathrm{mm}$、一様な $x$ 方向体積力 $b_x=0.01\,\mathrm{N/mm^3}$ なら、各節点への等価力は $t b_x\int N_idA=2\,\mathrm N$。3節点の合計6Nは、$b_x t A_e=6\,\mathrm N$ と一致します。