定常温度分布：直線・折れ線・対数

意味・使いどころ

発熱のない定常熱伝導では、全ての断面を通過する熱流量が一定になります。ただし、温度分布が直線になるかどうかは、材料と形状の条件にもよります。断面積と熱伝導率が一定の一次元平板では、熱流束も温度勾配も一定なので、温度分布はカードの直線式で表せます。T1はx=0の温度、T2はx=Lの温度で、両端の条件から直線の位置と傾きが決まります。異なる材料の平板を直列につないだ多層壁では、各層内のλが一定なら、各層ごとに直線になります。面積が同じで発熱がなければ、層をまたいで熱流束が連続し、勾配の大きさは $|dT/dx|=|q_x|/\lambda$ です。したがって、λの小さい層ほど温度が急に変化します。完全に接触し、界面の熱抵抗を無視する場合、界面温度は連続ですが、傾きは変わります。接触熱抵抗を考慮するモデルでは、界面に有限の温度差が生じるため、「温度は必ず連続」とは一般化できません。円筒を半径方向に熱が流れる場合は、半径が大きいほど通過面積が増えます。同じ熱流量でも外側ほど熱流束が小さくなり、温度勾配も小さくなるため、温度分布は対数関数になります。また、単一材の平板でもλが温度によって変われば、一般に直線分布にはなりません。温度分布の形を判断するときは、発熱の有無だけでなく、面積変化、λの一定性、界面の扱いを併せて確認します。

具体例

厚さがともに0.01 m、$\lambda_1=10$、$\lambda_2=20$ W/(m K)の二層平板で、両端温度を200℃と50℃とします。発熱なし・完全接触なら、①面積あたりの抵抗は0.001と0.0005 m² K/W。② $q_x=150/(0.001+0.0005)=100000\,\mathrm{W/m^2}$。③各層の温度降下は100 Kと50 Kなので、界面温度は100℃。④勾配の大きさは10000 K/mと5000 K/mで、比は2:1です。