一次元定常熱伝導：熱収支と内部発熱

意味・使いどころ

定常状態では、各位置の温度が時間とともに変わらず、微小な領域に熱エネルギーが蓄積しません。そのため、領域へ流入する熱と内部で発生する熱の合計が、流出する熱に等しくなります。体積あたりの発熱速度をHとすると、単位はW/m³です。一次元で断面積が一定なら、微小領域の熱収支から $dq_x/dx=H$ が得られます。そこへフーリエの法則を代入し、λを一定とすると、カードの方程式になります。発熱がなければH=0で、温度の二階微分がゼロ、つまり温度勾配が一定なので、温度は直線分布になります。一様な正の内部発熱がある場合は二階微分が負となり、温度分布は頂点が上にある放物線です。両端が同じ温度T0、間の長さがLなら、$T(x)=T_0+H x(L-x)/(2\lambda)$ となり、中心で最高温度を取ります。両端温度が異なる場合は、その温度差による直線分布も加わるため、最高温度の位置は必ずしも中心ではありません。内部発熱があると熱流束は位置によって変化し、各断面で同じ熱流量が通る「発熱なしの直列熱抵抗」の考えを、そのまま全域に適用できません。最高温度の位置では温度勾配がゼロなので、その断面の熱流束もゼロです。ただし、最高温度の位置より左右では、それぞれ外側へ熱が流れます。λが場所や温度で変わる場合の一次元式は、$d(\lambda\,dT/dx)/dx+H=0$ と書き、λを微分の外へ出してはいけません。このカードは断面一定・一次元・定常を前提とした式です。

具体例

厚さ $L=0.02\,\mathrm{m}$、$\lambda=10\,\mathrm{W/(m\,K)}$、$H=1000000\,\mathrm{W/m^3}$ の平板で、両面を20℃に保ちます。①中心温度の上昇は $HL^2/(8\lambda)=1000000\times0.02^2/(8\times10)=5\,\mathrm{K}$、最高温度は25℃。②各面から外へ出る熱流束は $HL/2=10000\,\mathrm{W/m^2}$。③面積が各1 m²なら、二面の合計流出は20000 Wで、発熱量 $HAL=20000\,\mathrm{W}$ と一致します。