構造解析と熱伝導解析の対応関係

意味・使いどころ

一次元の棒の弾性解析と熱伝導解析は、未知量と物性を置き換えると、同じような形の方程式になります。この数学的な対応をアナロジーと呼びます。弾性棒では、未知量は変位uで、ひずみは位置に対する変位の勾配du/dxです。応力はEを掛けて $\sigma=E\,du/dx$ と求めます。熱伝導では、未知量は温度Tで、熱流束は $q_x=-\lambda\,dT/dx$ です。したがって、変位に温度、変位勾配に温度勾配、弾性係数に熱伝導率が対応します。ただし、フーリエの法則には負号があり、応力と熱流束の符号まで無条件に同じにはできません。釣合い式や熱収支式で、境界に流入する向きも含めて規約をそろえる必要があります。一様な棒の軸方向ばね定数EA/Lに対し、熱伝導ではλA/Lが温度差と熱流量を結び付ける係数になります。カードのkTは熱コンダクタンスで、単位はW/Kです。材料定数λとは単位も意味も違い、形状のAとLも含みます。有限要素法では、構造の節点変位に節点温度、節点力に節点の熱流入量が対応し、要素係数を組み立てて全体方程式を作る考え方を共通に使えます。ただし、三次元の構造は各節点に複数の変位成分を持つのに対し、通常の固体熱伝導は温度一つを持ちます。構造用要素を設定変更だけで任意の熱問題に使えるという意味ではありません。また、λの温度依存を無視しても、熱伝達係数や発熱量が温度に依存したり、放射を含めたりすれば非線形になる場合があります。

具体例

長さ0.10 m、面積0.002 m²、$\lambda=50\,\mathrm{W/(m\,K)}$ の一次元熱伝導要素なら、① $k_T=50\times0.002/0.10=1.0\,\mathrm{W/K}$。②両端温度80℃と20℃の差は60 Kなので、$Q=k_T(80-20)=60\,\mathrm{W}$。③要素の節点熱流入量を正とすると、左節点は＋60 W、右節点は−60 Wで、合計はゼロです。対応する構造要素の係数EA/Lの単位はN/mです。