フーリエの法則：温度勾配と熱流束

意味・使いどころ

熱伝導では、材料内部の温度差によって熱が高温側から低温側へ移動します。フーリエの法則は、この熱の流れと温度勾配を結び付ける式です。熱流束qは、単位面積を単位時間に通過する熱エネルギーで、単位はW/m²です。WはJ/sなので、熱流束は単なる熱量ではなく、面積あたりの伝熱速度を表します。温度勾配dT/dxは、位置xに対して温度がどれだけ変化するかを表し、単位はK/mです。熱伝導率λの単位はW/(m K)で、同じ温度勾配ならλが大きい材料ほど熱流束も大きくなります。負号は、熱が温度の高くなる向きとは反対に流れることを示します。例えばxを高温側から低温側へ取ると、温度はxとともに低下し、勾配は負、熱流束は正になります。座標を逆に取れば熱流束も負になるため、「常にqを正にするための負号」ではありません。面積Aで熱流束が一様なら、全体の熱流量は $Q=q_xA$ で、単位はWです。熱流束と熱流量を区別すると、平板と円筒の違いも理解しやすくなります。この式は定常だけでなく、通常の非定常熱伝導でも各時刻に使います。三次元の等方材では $\boldsymbol{q}=-\lambda\nabla T$ と表し、各方向の温度勾配から熱流束を求めます。熱の伝わりやすさが方向で異なる材料では、λを一つの数ではなく行列として扱います。温度差の計算には℃を使ってもKを使っても同じ差になりますが、長さや面積の単位は式に合わせて統一します。

具体例

厚さ0.02 mの平板の左面を100℃、右面を20℃とし、左から右へxを取ります。発熱なし・定常・λ一定なら、① $dT/dx=(20-100)/0.02=-4000\,\mathrm{K/m}$。② $\lambda=0.50\,\mathrm{W/(m\,K)}$ なら、$q_x=-0.50\times(-4000)=2000\,\mathrm{W/m^2}$。③面積0.10 m²なら、$Q=2000\times0.10=200\,\mathrm{W}$ です。右から左へ座標を取るとqは−2000 W/m²になりますが、実際の熱の向きは変わりません。