熱応力：伸びたいのに伸びられない力

意味・使いどころ

金属部材などは、温度が上がると一般に膨張し、下がると収縮します。熱応力は、この自由な熱変形が拘束されることで生じます。どれだけ伸びようとするかを表す材料の数字が線膨張係数αです。温度変化をΔTとすると、自由に伸びられる棒の熱ひずみは $\varepsilon_T=\alpha\Delta T$ で、長さLなら自由な伸びは $\delta_T=\alpha\Delta T L$ です。一様な材料の棒を均一に温め、自由に伸ばせるなら、温度変化だけによる軸方向の応力は生じません。両端を動かないように固定すると、伸びようとする棒を押し戻す力が必要になります。このとき生じるのが熱応力です。引張りを正、温度上昇を正とすると、加熱で生じる応力は圧縮なので負になります。カードの式は、温度が均一に変わり、軸方向の伸びを完全に止めた一様な棒について、小さな弾性変形を仮定した式です。全ひずみを、応力による分 $\sigma/E$ と温度による分 $\alpha\Delta T$ に分け、その合計がゼロになると考えれば導けます。冷却では縮みたいのを引き止めるため、引張応力が生じます。温度差の数値は、摂氏でもケルビンでも同じです。一部分だけを加熱した固定棒や、別々の材料をつないだ棒では、全体の伸びの条件と力の釣合いから求めます。例えば、傾かない剛体板につながった同じ長さの二本の棒で片方だけ加熱すると、自由に伸びたい棒をもう片方が抑えます。外力がなければ、各棒の軸力は合計ゼロでも、それぞれには圧縮と引張りが生じます。支持部が動く場合まで完全拘束の式を使わず、降伏や座屈が起きた後まで同じ比例関係が続くとも考えないようにします。

具体例

① $E=200000\,\mathrm{MPa}$、$\alpha=12\times10^{-6}/\mathrm{K}$、温度上昇50 K、長さ1000 mmとします。自由なら $\delta_T=12\times10^{-6}\times50\times1000=0.6\,\mathrm{mm}$。②軸方向に完全固定なら、その伸びを打ち消す必要があり、$\sigma=-200000\times12\times10^{-6}\times50=-120\,\mathrm{MPa}$。③同じE・αの棒の半分だけ50 K加熱し、全長の両端を固定するなら、断面が一様な場合の軸応力は−60 MPaです。温度変化を全長平均で25 Kと考えられます。④同じL・E・A・αの二本の並列棒で、両端板の相対回転を止め、軸方向の自由な平行移動を許す場合を考えます。外荷重はゼロで片方だけ50 K加熱すると、共通の伸びは0.3 mm、加熱側は−60 MPa、非加熱側は＋60 MPaです。