円筒の半径方向熱伝導

意味・使いどころ

配管や円筒の壁を半径方向へ熱が流れる場合、半径が大きいほど熱の通過面積が増えます。内半径をri、外半径をro、軸方向の長さをLとすると、半径rの面積は2πrLです。発熱なしの定常状態では、どの半径でも全体の熱流量Qが同じですが、熱流束は $q_r=Q/(2\pi rL)$ となるため、外側ほど小さくなります。これをフーリエの法則へ入れると、温度勾配は1/rに比例します。半径について積分すると対数が現れ、内外面の温度Ti、Toを使ってカードの式が得られます。円筒壁の熱抵抗は $R=\ln(r_o/r_i)/(2\pi\lambda L)$ です。温度分布は $T(r)=T_i+(T_o-T_i)\ln(r/r_i)/\ln(r_o/r_i)$ と書け、平板のような直線にはなりません。対数の中は半径どうしの比で、単位のない量です。riとroには同じ長さの単位を使いますが、λをW/(m K)で使うとき、Lはmでそろえます。単位長さあたりの熱流量Q/Lの単位はW/mで、外面の熱流束のW/m²とは異なります。外面の熱伝達を加えるなら、その抵抗には外面積2πroLを使い、内面には内面積2πriLを使います。内外面積が異なるので、平板用の「同じ面積で抵抗を足す式」をそのまま流用しません。このカードはλ一定・半径方向だけの伝導・発熱なし・定常を前提とし、端面からの熱の流れは無視します。

具体例

$r_i=0.01\,\mathrm{m}$、$r_o=0.02\,\mathrm{m}$、$L=1\,\mathrm{m}$、$\lambda=0.50\,\mathrm{W/(m\,K)}$、$T_i=100$℃、$T_o=20$℃とします。① $R=\ln2/(2\pi\times0.50\times1)\approx0.2206\,\mathrm{K/W}$。② $Q=80/R\approx362.6\,\mathrm{W}$。③内面熱流束は約5771 W/m²、外面は約2885 W/m²で半分です。④面積を掛け戻すと、内面・外面とも同じQになります。