丸棒のねじりとせん断応力

意味・使いどころ

円形軸に軸まわりのトルクを加えると、断面ごとに回転角が変化し、ねじり変形が生じます。トルクTは回転軸まわりの力のモーメントで、力に作用線までの垂直距離を掛けて求めます。単位はN mやN mmです。ねじられた丸棒の内部では、面に沿って材料をずらすせん断応力τが生じます。小さな正方形を切り出すと、一つの面だけにせん断応力を描いたのでは回転の釣合いが保てません。通常の固体力学では、直角な面にも等しい成分のせん断応力があり、$\tau_{xy}=\tau_{yx}$ となります。これを共役せん断応力と呼びます。カードの式は円形軸のねじり応力を求めるものです。rは軸の中心からの距離、Ipは断面の形で決まる極断面二次モーメントです。一様な円形軸が弾性範囲でねじれると、応力はrに比例します。中実軸の中心ではゼロで、外周が最大です。外径D、内径dの中空軸なら $I_p=\pi(D^4-d^4)/32$、中実ならdをゼロとします。最大応力を求めるrには、直径Dではなく半径D/2を入れます。ねじれ角については、長さLの軸全体の回転角をφとすると、$\varphi=TL/(GI_p)$ です。単位長さあたりのねじれ角はφ/Lなので、全体の角度と混同しないようにします。純せん断状態では主応力は正負の同じ大きさになり、主応力方向はせん断の座標軸から45°です。この応力式を四角形など円形でない軸へそのまま使ってはいけません。断面が反るため、応力の分布が違うからです。

具体例

直径20 mmの中実丸棒に $T=100000\,\mathrm{N\,mm}$ を加えます。① $I_p=\pi\times20^4/32\approx15708\,\mathrm{mm^4}$。②外周は $r=10\,\mathrm{mm}$ なので、$\tau_{\max}=100000\times10/15708\approx63.7\,\mathrm{MPa}$。③ $G=80000\,\mathrm{MPa}$、$L=1000\,\mathrm{mm}$ なら、$\varphi\approx0.0796\,\mathrm{rad}\approx4.56^{\circ}$。$1\,\mathrm{N\,m}=1000\,\mathrm{N\,mm}$ に注意します。