棒の伸びと、つながった棒の考え方

意味・使いどころ

一様な棒が軸力Pを受けるとき、応力はP/A、単軸弾性ひずみはP/(EA)です。ひずみに元の長さLを掛けると、伸びδ=PL/(EA)が得られます。軸力と長さに比例し、縦弾性係数と断面積に反比例する関係です。Pは棒の軸方向の力、Lは元の長さ、Aは断面積、Eは材料の伸びにくさ、δは伸びた長さです。分子にあるPとLを大きくすると伸びが増え、分母のEとAを大きくすると伸びが減ります。式は、軸力・断面積・材料が一様な棒が、小さな弾性変形をする場合に使います。引張りを正に取れば、圧縮ではPもδも負になります。棒が途中で太くなったり材料が変わったりするなら、各区間の伸びを計算して足します。先端につないだ直列の棒は、途中に別の力が加わらなければ同じ軸力を受け、全体の伸びは各棒の伸びの合計です。横に並べた棒が同じだけ動く剛体板につながっている場合は、板が傾かない条件なら各棒の伸びが同じになります。ただし、棒が負担する力まで同じとは限りません。伸びにくい棒ほど大きな力を負担します。力の釣合いだけで未知の力を決められない問題を不静定と呼びます。その場合は「つながった場所は離れない」「固定端は動かない」という変形の条件を追加します。これが適合条件です。太さが連続的に変わる棒は、細かい区間の伸びを積み上げる積分が必要になります。細長い棒の圧縮で起こる横曲がり、つまり座屈は、この伸びの式だけでは判定できません。

具体例

① $P=10000\,\mathrm{N}$、$L=1000\,\mathrm{mm}$、$A=100\,\mathrm{mm^2}$、$E=200000\,\mathrm{MPa}$ なら、$\delta=10000\times1000/(200000\times100)=0.5\,\mathrm{mm}$。②同じL・Eの二本の棒が、傾かず平行移動する剛体板を支え、断面積が100と200 mm²なら、同じ伸びに必要な力の比は1:2です。全荷重30000 Nのうち、それぞれ10000 Nと20000 Nを負担します。