3次元の主応力(特性方程式・応力の不変量)
$$\begin{aligned}&\begin{vmatrix}\sigma_x-\sigma & \tau_{xy} & \tau_{zx}\\ \tau_{xy} & \sigma_y-\sigma & \tau_{yz}\\ \tau_{zx} & \tau_{yz} & \sigma_z-\sigma\end{vmatrix}=0 \\ &\quad\Longleftrightarrow\ \sigma^3-I_1\sigma^2+I_2\sigma-I_3=0 \\ &I_1=\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z \\ &I_2=\sigma_x\sigma_y+\sigma_y\sigma_z+\sigma_z\sigma_x-\tau_{xy}^2-\tau_{yz}^2-\tau_{zx}^2 \\ &I_3=\sigma_x\sigma_y\sigma_z-\sigma_x\tau_{yz}^2-\sigma_y\tau_{zx}^2-\sigma_z\tau_{xy}^2+2\tau_{xy}\tau_{yz}\tau_{zx}\end{aligned}$$
意味・使いどころ
3次元では、ある1点の応力は6つの成分 $(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z,\tau_{xy},\tau_{yz},\tau_{zx})$ で表せます。ここでもせん断応力が全部0になる向きが3つあり、そのときの垂直応力が3つの主応力 $\sigma_1\geq\sigma_2\geq\sigma_3$ です。これらは応力行列の固有値で、上の3次方程式の3つの解として求まります。係数 $I_1,I_2,I_3$ は軸の取り方を変えても値が変わらないので「応力の不変量」と呼び、$I_1$ は3つの垂直応力の和(=主応力の和)、$I_3$ は行列式です。
具体例
全方向から同じ圧力 $-p$ を受ける状態(静水圧)では $\sigma_1=\sigma_2=\sigma_3=-p$ で、どの向きでもせん断応力は0。
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