応力の座標変換(x-y を反時計回りに回した x'-y')

意味・使いどころ

同じ場所にかかる同じ力でも、見る向き(座標軸)を変えると「まっすぐ押す力(垂直応力)」と「ずらす力(せん断応力)」への分け方が変わります。もとの $x,y$ 軸を反時計回りに角度 $\theta$ だけ回した軸を $x',y'$ とすると、新しい成分 $\sigma_{x'},\sigma_{y'},\tau_{x'y'}$ は、もとの $\sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}$ から上の式で計算できます。角度が $2\theta$ の形で入るのが特徴で、応力は「向きを180°変えると元に戻る」性質があるためです。この式を図にしたのが次のモールの応力円です。

具体例

$\theta=30^{\circ}$ なら $\cos2\theta=\cos60^{\circ}=\tfrac12,\ \sin2\theta=\sin60^{\circ}=\tfrac{\sqrt3}{2}$ を代入するだけ(公式問2-6)。