見る向きで変わる応力：主応力とモール円

意味・使いどころ

材料内部の同じ点でも、考える切断面の向きによって、垂直応力とせん断応力の成分は変わります。座標を回転させても応力状態そのものは変わらず、それを表す成分の組合せが変わります。この分け方を変える計算が応力の座標変換です。面の向きを変えていくと、ずらす成分がゼロになる向きが見つかります。その面の垂直応力が主応力で、xy平面内の二つをカードの式で求めます。プラスの側が大きい値、マイナスの側が小さい値です。まず二つの垂直応力の平均Cを求め、次に平方根部分Rを求めると、主応力はCにRを足した値と引いた値になります。モール円は、横軸に垂直応力、縦軸にせん断応力を取って、この変化を円で表したものです。中心は横軸上のC、半径はRで、左右の端が面内主応力、上下の端が面内での最大せん断応力に対応します。実際の面をθだけ回すと、円上では2θだけ移動します。ただし回る向きは、図の縦軸で正のせん断応力をどちらに取るかにもよります。平面応力では、面外の主応力ゼロも存在します。全方向の最大せん断応力を求めるときは、面内の二つとゼロを大きい順にσ1、σ2、σ3と並べ、$\tau_{\max}=(\sigma_1-\sigma_3)/2$ とします。面内の最大値Rと同じになるとは限りません。主軸の角度を逆三角関数で求める場合も、角度の範囲と、どちらの主応力の向きかを確認しましょう。

具体例

① $\sigma_x=100$、$\sigma_y=60$、$\tau_{xy}=0$（全てMPa）なら、$C=80$、$R=20$。面内主応力は100と60、面内最大せん断応力は20です。平面応力で全方向を考えると100、60、0なので最大せん断応力は50です。②軸を反時計回りにθ回す場合、$\sigma_{x\prime}=C+D\cos2\theta+\tau_{xy}\sin2\theta$、$\sigma_{y\prime}=C-D\cos2\theta-\tau_{xy}\sin2\theta$、$\tau_{x\prime y\prime}=-D\sin2\theta+\tau_{xy}\cos2\theta$。$D=(\sigma_x-\sigma_y)/2$ とします。①でθ=45°なら、垂直応力はどちらも80、せん断応力は−20 MPaです。