公式第1章数学の基礎

線形性と重ね合わせ

$L(a\mathbf{x}+b\mathbf{y})=a\,L(\mathbf{x})+b\,L(\mathbf{y})$

意味・使いどころ

この関係を満たす写像を線形写像といいます。例えば $-\Delta$ は線形で $-\Delta(au+bv)=a(-\Delta u)+b(-\Delta v)$。だからソースを定数倍・足し合わせると、解も同じ組合せになります（重ね合わせ）。非線形問題では重ね合わせはできません。

具体例

$-\Delta u=f$ の解 $u$ が分かっていれば、$-\Delta u=2f$ の解は $2u$ でちょうど厳密（公式問1-9の正解）。

公式を覚えたら、問題と用語で定着

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