ベクトル解析とガウス・グリーンの公式

意味・使いどころ

勾配 $\mathrm{grad}\,f$、発散 $\mathrm{div}\,\mathbf{g}$、ラプラシアン $\Delta f=\mathrm{div}\,\mathrm{grad}\,f$ が基本の演算です。ガウス・グリーンの公式は「部分積分の多次元版」で、有限要素法の弱形式を導く土台になります。

具体例

$f\equiv1$ とすると発散定理 $\int_{\Omega}\mathrm{div}\,\mathbf{g}\,dx=\int_{\Gamma}\mathbf{g}\cdot\mathbf{n}\,ds$。$\mathbf{g}=\mathrm{grad}\,g$ とすると $\int_{\Omega} f\Delta g\,dx=\int_{\Gamma} f\dfrac{\partial g}{\partial n}ds-\int_{\Omega}\mathrm{grad}\,f\cdot\mathrm{grad}\,g\,dx$（公式問1-6）。