平面応力の最大主応力と主軸角
テーマ：主応力・主軸
平面応力状態 $\sigma_x=60\,\mathrm{MPa},\ \sigma_y=20\,\mathrm{MPa},\ \tau_{xy}=15\,\mathrm{MPa}$ が与えられている。最大主応力 $\sigma_1$ と、x軸から反時計回りに測ったその主軸角 $\theta_p$ の組合せとして最も近いものはどれか。
- 1 $\sigma_1\simeq60\,\mathrm{MPa},\ \theta_p\simeq18.4^\circ$
- 2 $\sigma_1\simeq83\,\mathrm{MPa},\ \theta_p\simeq28^\circ$
- 3 $\sigma_1\simeq65\,\mathrm{MPa},\ \theta_p\simeq45^\circ$
- 4 $\sigma_1\simeq65\,\mathrm{MPa},\ \theta_p\simeq18.4^\circ$
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正解：4番
【主応力を求める】応力変換を行い、せん断が消える方向を探すと主応力になります。モールの円なら中心 $C=(\sigma_x+\sigma_y)/2$、半径 $R=\sqrt{[(\sigma_x-\sigma_y)/2]^2+\tau_{xy}^2}$。最大主応力は右側の交点 $C+R$ です。 【値と角度】$C=(60+20)/2=40\,\mathrm{MPa}$、$R=\sqrt{20^2+15^2}=25\,\mathrm{MPa}$ なので $\sigma_1=65\,\mathrm{MPa}$。$\tan2\theta_p=2\times15/(60-20)=0.75$ より $2\theta_p\simeq36.87^\circ$、$\theta_p\simeq18.4^\circ$。正答は4です。 【角度の確認】もう一方の面内主応力は15 MPa、その主方向は約108.4°で直交します。tanだけでは角度の枝を区別できないため、求めた角度を応力変換式へ戻し、最大側の主応力とせん断ゼロを確認します。応力差を半分にすること、求めた倍角を最後に半分にすることの二点に注意します。
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