対称行列の固有値・固有ベクトル

正解：3番

【固有値とは】$\mathbf A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ を満たす非零ベクトル $\mathbf v$ を固有ベクトルと呼びます。行列を掛けても同じ直線方向にとどまり、その倍率が固有値 $\lambda$ です。非零ベクトルの解がある条件は $\det(\mathbf A-\lambda\mathbf I)=0$ です。 【計算】$(5-\lambda)(2-\lambda)-4=\lambda^2-7\lambda+6=(\lambda-1)(\lambda-6)$ より、固有値は1と6です。$\lambda=6$ を代入すると $-v_1+2v_2=0$ なので、方向は $(2,1)^T$。実際に掛けると $(12,6)^T=6(2,1)^T$ となり、正答は3です。 【方向と長さ】$(4,2)^T$ や $(-2,-1)^T$ も同じ固有直線を表します。長さ1にするなら $(2,1)^T/\sqrt5$ とします。固有値1の方向は $(1,-2)^T$ で、内積 $2\times1+1\times(-2)=0$。実対称行列では異なる固有値の固有ベクトルが直交するという性質も確認できます。