平面応力と平面ひずみ(σ-εの関係[D])

意味・使いどころ

2次元に簡単化する2つの方法で、応力σとひずみεを結ぶ行列 $[D]$(応力-ひずみマトリックス)が変わります。平面応力=薄い板を面内で引く場合で、板厚方向の応力を0とみなします($\sigma_z=0$)。平面ひずみ=ダムやトンネルのように奥行きが長く断面が一定な場合で、奥行き方向のひずみを0とみなします($\varepsilon_z=0$)。どちらも応力は $\{\sigma\}=[D]\{\varepsilon\}$ で計算し、$[D]$ は縦弾性係数 $E$ とポアソン比 $\nu$ だけで決まります。平面応力の式で $E\to\dfrac{E}{1-\nu^{2}},\ \nu\to\dfrac{\nu}{1-\nu}$ と置き換えると平面ひずみの式になります。選び方を間違えると結果が大きくずれます。

具体例

平面ひずみ:$[D]=\dfrac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)}\begin{bmatrix}1&\tfrac{\nu}{1-\nu}&0\\\tfrac{\nu}{1-\nu}&1&0\\0&0&\tfrac{1-2\nu}{2(1-\nu)}\end{bmatrix}$。薄板の面内引張→平面応力 / 長い円管・堤防の断面→平面ひずみ。