ヤコビ行列

意味・使いどころ

アイソパラメトリック要素で、歪んだ実際の形を基準の正方形($\xi,\eta$)へ写すときの「伸び縮み・ねじれ」を表す行列がヤコビ行列 $J$ です。実座標での微分(ひずみの計算)を基準座標での微分に置き換えるのに使い、面積・体積の変換係数であるヤコビ行列式 $\det J$ として数値積分にも現れます。$\det J$ が要素内で正に保たれていることが健全な要素の条件で、負や0になると要素がつぶれ・裏返っていて計算できません。

具体例

ガウス積分では各積分点で $\det J$ を掛けて面積要素に換算します。要素が極端に歪むと $\det J$ が小さく(または負に)なり、精度低下や計算エラーの原因になります。